维特比算法解码
1. linear-CRF模型参数学习思路
在linear-CRF模型参数学习问题中，我们给定训练数据集X和对应的标记序列Y，K个特征函数$$f_k(x,y)$$，需要学习linear-CRF的模型参数$$w_k$$和条件概率$$P_w(y|x)$$，其中条件概率$$P_w(y|x)$$和模型参数$$w_k$$满足一下关系：$$P_w(y|x) = P(y|x) = \frac{1}{Z_w(x)}exp\sum\limits_{k=1}Kw_kf_k(x,y) = \frac{exp\sum\limits_{k=1}Kw_kf_k(x,y)}{\sum\limits_{y}exp\sum\limits_{k=1}^Kw_kf_k(x,y)}$$
所以我们的目标就是求出所有的模型参数$$w_k$$，这样条件概率$$P_w(y|x)$$可以从上式计算出来。
求解这个问题有很多思路，比如梯度下降法，牛顿法，拟牛顿法。同时，这个模型中$$P_w(y|x)$$的表达式和最大熵模型原理小结中的模型一样，也可以使用最大熵模型中使用的改进的迭代尺度法(improved iterative scaling, IIS)来求解。
下面我们只简要介绍用梯度下降法的求解思路。
2. linear-CRF模型参数学习之梯度下降法求解
在使用梯度下降法求解模型参数之前，我们需要定义我们的优化函数，一般极大化条件分布$$P_w(y|x)$$的对数似然函数如下：$$L(w)= log\prod_{x,y}P_w(y|x)^{\overline{P}(x,y)} = \sum\limits_{x,y}\overline{P}(x,y)logP_w(y|x)$$
其中$$\overline{P}(x,y)$$为经验分布，可以从先验知识和训练集样本中得到,这点和最大熵模型类似。为了使用梯度下降法，我们现在极小化$$f(w) = -L(P_w)$$如下：
$$\begin{aligned}f(w) & = -\sum\limits_{x,y}\overline{P}(x,y)logP_w(y|x) \ &= \sum\limits_{x,y}\overline{P}(x,y)logZ_w(x) - \sum\limits_{x,y}\overline{P}(x,y)\sum\limits_{k=1}Kw_kf_k(x,y) \& = \sum\limits_{x}\overline{P}(x)logZ_w(x) - \sum\limits_{x,y}\overline{P}(x,y)\sum\limits_{k=1}Kw_kf_k(x,y) \& = \sum\limits_{x}\overline{P}(x)log\sum\limits_{y}exp\sum\limits_{k=1}Kw_kf_k(x,y) - \sum\limits_{x,y}\overline{P}(x,y)\sum\limits_{k=1}Kw_kf_k(x,y) \end{aligned}$$
对w求导可以得到：$$\frac{\partial f(w)}{\partial w} = \sum\limits_{x,y}\overline{P}(x)P_w(y|x)f(x,y) - \sum\limits_{x,y}\overline{P}(x,y)f(x,y)$$
有了w的导数表达书，就可以用梯度下降法来迭代求解最优的w了。注意在迭代过程中，每次更新w后，需要同步更新$$P_w(x,y)$$,以用于下一次迭代的梯度计算。
3. linear-CRF模型维特比算法解码思路
现在我们来看linear-CRF的第三个问题：解码。在这个问题中，给定条件随机场的条件概率P(y|x)和一个观测序列x,要求出满足P(y|x)最大的序列y。
这个解码算法最常用的还是和HMM解码类似的维特比算法。维特比算法本身是一个动态规划算法，利用了两个局部状态和对应的递推公式，从局部递推到整体，进而得解。对于具体不同的问题，仅仅是这两个局部状态的定义和对应的递推公式不同而已。由于在之前已详述维特比算法，这里就是做一个简略的流程描述。
对于我们linear-CRF中的维特比算法，我们的第一个局部状态定义为$$\delta_i(l)$$,表示在位置i标记l各个可能取值(1,2...m)对应的非规范化概率的最大值。之所以用非规范化概率是，规范化因子Z(x)不影响最大值的比较。根据$$\delta_i(l)$$的定义，我们递推在位置i+1标记l的表达式为：$$\delta_{i+1}(l) = \max_{1 \leq j \leq m}{\delta_i(j) + \sum\limits_{k=1}^Kw_kf_k(y_{i} =j,y_{i+1} = l,x,i)};, l=1,2,...m$$
和HMM的维特比算法类似，我们需要用另一个局部状态$$\Psi_{i+1}(l)$$来记录使$$\delta_{i+1}(l)$$达到最大的位置i的标记取值,这个值用来最终回溯最优解，$$\Psi_{i+1}(l)$$的递推表达式为：$$\Psi_{i+1}(l) = arg;\max_{1 \leq j \leq m}{\delta_i(j) + \sum\limits_{k=1}^Kw_kf_k(y_{i} =j,y_{i+1} = l,x,i)}; ,l=1,2,...m$$
4. linear-CRF模型维特比算法流程
现在我们总结下 linear-CRF模型维特比算法流程：
输入：模型的K个特征函数，和对应的K个权重。观测序列$$x=(x_1,x_2,...x_n)$$,可能的标记个数m
输出：最优标记序列$$y* =(y_1,y_2^,...y_n^*)$$
1) 初始化：
$$\delta_{1}(l) = \sum\limits_{k=1}^Kw_kf_k(y_{0} =start,y_{1} = l,x,i)};, l=1,2,...m$$
$$\Psi_{1}(l) = start;, l=1,2,...m$$
2) 对于i=1,2...n-1,进行递推：
$$\delta_{i+1}(l) = \max_{1 \leq j \leq m}{\delta_i(j) + \sum\limits_{k=1}^Kw_kf_k(y_{i} =j,y_{i+1} = l,x,i)};, l=1,2,...m$$
$$\Psi_{i+1}(l) = arg;\max_{1 \leq j \leq m}{\delta_i(j) + \sum\limits_{k=1}^Kw_kf_k(y_{i} =j,y_{i+1} = l,x,i)}; ,l=1,2,...m$$
3) 终止：
$$y_n^* = arg;\max_{1 \leq j \leq m}\delta_n(j)$$
4)回溯：
$$y_i* = \Psi_{i+1}(y_{i+1}*);, i=n-1,n-2,...1$$
最终得到最优标记序列$$y* =(y_1,y_2^,...y_n^*)$$
5. linear-CRF模型维特比算法实例
下面用一个具体的例子来描述 linear-CRF模型维特比算法，例子的模型和CRF系列第一篇中一样，都来源于《统计学习方法》。
假设输入的都是三个词的句子，即$$X=(X_1,X_2,X_3)$$,输出的词性标记为$$Y=(Y_1,Y_2,Y_3)$$,其中$$Y \in $${1(名词)，2(动词)}
这里只标记出取值为1的特征函数如下：
$$t_1 =t_1(y_{i-1} = 1, y_i =2,x,i), i =2,3,;;\lambda_1=1$$
$$t_2 =t_2(y_1=1,y_2=1,x,2);;\lambda_2=0.5$$
$$t_3 =t_3(y_2=2,y_3=1,x,3);;\lambda_3=1$$
$$t_4 =t_4(y_1=2,y_2=1,x,2);;\lambda_4=1$$
$$t_5 =t_5(y_2=2,y_3=2,x,3);;\lambda_5=0.2$$
$$s_1 =s_1(y_1=1,x,1);;\mu_1 =1$$
$$s_2 =s_2( y_i =2,x,i), i =1,2,;;\mu_2=0.5$$
$$s_3 =s_3( y_i =1,x,i), i =2,3,;;\mu_3=0.8$$
$$s_4 =s_4(y_3=2,x,3);;\mu_4 =0.5$$
求标记(1,2,2)的最可能的标记序列。
首先初始化:$$\delta_1(1) = \mu_1s_1 = 1;;;\delta_1(2) = \mu_2s_2 = 0.5;;;\Psi_{1}(1) =\Psi_{1}(2) = start$$
接下来开始递推，先看位置2的：
$$\delta_2(1) = max{\delta_1(1) + t_2\lambda_2+\mu_3s_3, \delta_1(2) + t_4\lambda_4} = max{1+0.5+0.8,0.5+1} =2.3;;;\Psi_{2}(1) =1$$
$$\delta_2(2) = max{\delta_1(1) + t_1\lambda_1+\mu_2s_2, \delta_1(2) + \mu_2s_2} = max{1+0.5+0.8,0.5+0.5} =2.5;;;\Psi_{2}(2) =1$$
再看位置3的：
$$\delta_3(1) = max{\delta_2(1) +\mu_3s_3, \delta_2(2) + t_3\lambda_3+\mu_3s_3} = max{2.3+0.8,2.5+1+0.8} =4.3\Psi_{3}(1) =2$$
$$\delta_3(2) = max{\delta_2(1) +t_1\lambda_1 + \mu_4s_4, \delta_2(2) + t_5\lambda_5+\mu_4s_4} = max{2.3+1+0.5,2.5+0.2+0.5} =3.8\Psi_{3}(2) =1$$
最终得到$$y_3* =\arg;max{\delta_3(1), \delta_3(2)}$$,递推回去，得到：$$y_2* = \Psi_3(1) =2;;y_1^* = \Psi_2(2) =1$$
即最终的结果为(1,2,1),即标记为(名词，动词，名词)。
6.linear-CRF vs HMM
linear-CRF模型和HMM模型有很多相似之处，尤其是其三个典型问题非常类似，除了模型参数学习的问题求解方法不同以外，概率估计问题和解码问题使用的算法思想基本也是相同的。同时，两者都可以用于序列模型，因此都广泛用于自然语言处理的各个方面。
现在来看看两者的不同点。最大的不同点是linear-CRF模型是判别模型，而HMM是生成模型，即linear-CRF模型要优化求解的是条件概率P(y|x),则HMM要求解的是联合分布P(x,y)。第二，linear-CRF是利用最大熵模型的思路去建立条件概率模型，对于观测序列并没有做马尔科夫假设。而HMM是在对观测序列做了马尔科夫假设的前提下建立联合分布的模型。
最后想说的是，只有linear-CRF模型和HMM模型才是可以比较讨论的。但是linear-CRF是CRF的一个特例，CRF本身是一个可以适用于很复杂条件概率的模型，因此理论上CRF的使用范围要比HMM广泛的多。
